La géométrie d'Euclide qui a prévalu depuis l'antiquité définit un espace à deux dimensions, le plan. Au XIXe siècle Gauss, Riemann et d'autres mathématiciens à s'intéressent à la possibilité qu'une autre géométrie soit possible et à la courbure de l'espace. Emergent alors des géométries fascinantes et nouvelles, d'espaces à plus de 2 dimensions. C'est l'histoire de cette courbure et de ses prolongements féconds dans la physique du XX siècle - notamment avec Einstein - que Jean Pierre Bourguignon nous raconte ici.