La géométrie nous renvoie à nos premières perceptions du monde. Évoluant à partir de besoins pratiques dans la haute antiquité, elle s'est cristallisée sous un aspect plus formel à Athènes, avec Euclide, au IVe siècle avant notre ère. Initialement discipline de figures et de mesures, elle s'est modernisée ensuite avec l'algébrisation et la notion de courbure, puis l'arrivée des géométries non euclidiennes, essentielles en physique par exemple. Les nouvelles géométries, au tournant du XXe siècle, se sont grandement éloignées de leur objectif initial - l'étude des figures que l'on peut dessiner - et manipulent désormais des objets et des espaces abstraits dans toutes les dimensions. Discipline vivante, la géométrie continue à innover, comme en témoignent les recherches actuelles sur les fractales et les variétés, et son application à tous les champs du savoir, de la biologie à la physique, en passant par l'informatique ou le design.
S'il est aussi question de la forme de l'Univers dans ce dossier, un détour par l'histoire des sciences permet de comprendre les hauts et les bas d'un modèle d'Univers baptisé "théorie de l'état stationnaire" où l'aspect du cosmos reste toujours le même. Un modèle finalement supplanté par celui d'une expansion cosmique démarrée dans une "grande explosion" - le big bang. Les autres articles du numéro nous mèneront notamment dans l'Adriatique antique où la tradition de "bateaux cousus" a perduré durant des siècles, sur un sommet des Andes où un télescope muni de la plus puissante caméra du monde s'apprête à traquer l'énergie noire et les astres fugaces - un sujet tout en image. Mais aussi une visualisation graphique de ce nous ingurgitons, dominé au niveau mondial par une alimentation industrialisée.
Dans le grand entretien d'ouverture, la juriste Samantha Besson explique pourquoi nous avons besoin d'un droit international de la science et esquisse ses contours. Et l'entretien avec le biologiste danois Eske Willereslev nous fait voyager très loin dans le passé puisque il raconte comment, avec son équipe, il est parvenu à reconstituer un écosystème - la faune et la flore - qui vivait il y a 2 millions d'années au Groenland... Cela grâce à l'analyse de fragments d'ADN retrouvés dans les sédiments. Plus que jamais, l'ADN environnemental apparaît comme la nouvelle frontière de la paléogénétique. Lire la suite Fermer

L'informatique est avant tout un système de représentation de l'information. Les bouleversements induits par son développement foudroyant sont tels que de nouveaux domaines de la connaissance ont vu le jour.
L'algèbre booléenne et l'algorithmique sont les outils qui permettent de numériser (« mettre sous forme de nombres »), représenter et manipuler l'information. La logique formelle comme la sémantique cherchent à préciser ce qui peut être formalisé et expliqué à un ordinateur. La théorie du signal permet de faire circuler des données d'un ordinateur à l'autre. La cryptologie vise à étudier la sécurité des données qui transitent.
Les codes correcteurs d'erreurs ont pour mission de détecter et de corriger toute erreur sur les données.
Les ondelettes autorisent la compression des sons et des images (avec les fameux formats MP3, MP4, JPG ou DIVX). Les graphes permettent d'étudier la distribution et la connectivité d'un réseau d'ordinateurs. L'analyse de données permet de gérer le déluge d'informations qui submergent les serveurs.
Sans les mathématiques, aucun de ces progrès ne serait possible !
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Bien implantés dans les laboratoires, les systèmes dintelligence artificielle (IA) ont le potentiel de remodeler la découverte scientifique en accélérant le processus de la recherche. Sils sont encore essentiellement fondés sur lapprentissage statistique, ces systèmes permettent dexplorer de nouvelles hypothèses, de concevoir des expériences et daccélérer la collecte et lanalyse des données massives. Au travers de ce dossier, qui dresse un panorama de la manière dont les outils dIA rentrent dans la besace du scientifique, vous aurez un aperçu de ce nouveau paysage de la recherche, avec ses succès, ses espoirs et ses limites. Notamment, le fait que lexpertise humaine reste indispensable. Pour le moment, ces systèmes ne sont en rien «intelligents», adjectif très mal choisi mais qui a fait florès.



La physicienne Mun Mi-ok dresse un portrait du monde convergent de la recherche et de linnovation en Corée du Sud, lun des pays qui investit le plus dans ces domaines, mais qui connaît un léger ralentissement. Au programme de ce numéro, vous comprendrez aussi pourquoi la recherche archéologique sur la Seconde Guerre mondiale est en plein renouveau, vous aurez la réponse à un mystère biophysique sur le son des battements cardiaques qui se propagent dans lorganisme, et vous ferez une plongée mathématiques dans lensemble de Mandelbrot, fractal parmi les fractal. Et pour terminer sur une note plus orgasmique, le professeur décologie évolutive Thierry Lodé nous raconte les différents stades dévolution du plaisir sexuel. Très bonne lecture. Lire la suite Fermer

L'une des activités principales du scientifique explorant le monde est la recherche d'invariants. Les mathématiques n'échappent pas à cette quête systématique : il est toujours conseillé de s'intéresser à "ce qui ne change pas" dans un cadre fixé. En géométrie, par exemple, la recherche de points invariants permet de mieux comprendre une transformation donnée.

Le succès mondial et foudroyant du jeu de taquin à la fin du XIXe siècle illustre parfaitement tout le bénéfice que l'on peut retirer du plus simple des invariants : la parité.

Il en va de même avec le Rubik's Cube, où les invariants sont de nature plus algébrique, ou avec les codes correcteurs d'erreurs, indispensables pour sécuriser la transmission des données.

Aujourd'hui plus que jamais, les invariants sont au coeur des mathématiques et de leurs applications. Lire la suite Fermer

La droite, objet le plus familier de la géométrie, prend selon les contextes, le nom de ligne, d'axe, d'horizon, de direction, de trait... Son importance en géométrie peut se mesurer au nombre extraordinaire de mathématiciens et savants qui ont laissé leur nom à la figure contenant une droite qu'ils ont mise en évidence.
Mais la droite n'est pas cantonnée à la géométrie : elle est de manière naturelle associée à la représentation des nombres réels, ce qui ouvre tout un champ d'étude.

Au-delà, son usage est encore sans limite : des illusions d'optique au graphisme, les frontières même de la droite se brouillent, pour le plus grand plaisir des lecteurs de ce livre !

On pourrait s'attendre à ce que les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture soient de nature purement géométrique. Il est étonnant de voir que de nombreux autres domaines sont aussi concernés : celui des nombres et des proportions (où l'on trouve le fameux nombre d'or), celui de la réalisation d'outils rationnels précis, et même celui de l'arbitrage entre l'exactitude et l'esthétique.

À Babylone, en Égypte ou en Grèce, l'homme antique est confronté à des partages de champs ou d'héritages qui le conduisent déjà à résoudre des équations algébriques, parfois sans le savoir. De ces problèmes de la vie quotidienne naît l'inconnu(e). Depuis, les équations se résolvent aussi pour elles-mêmes, sans souci du concret.

Afin de percer leur mystère, le mathématicien affûte ses méthodes. Il doit accepter l'insuffisance de la stricte algèbre, ne dédaigner ni les ressources de la géométrie ni le recours aux approximations.

Cette quête le mènera aux confins de l'univers des nombres, dans des mondes peuplés d'irrationnels, de transcendants, d'imaginaires. Elle sera l'origine de révolutions mathématiques, telles que la théorie de Galois.

La présente réédition prend en compte les développements mathématiques récents et s'est adaptée à l'évolution des programmes scolaires.
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Qu'ont en commun un problème de grains de riz sur un échiquier, la recherche d'une stratégie gagnante dans un jeu de société, la notion d'équilibre en économie, les comportements sociaux, l'art de la guerre et l'établissement d'un juste prix lors d'une vente aux enchères ?

Tous relèvent d'une même branche des mathématiques : la théorie des jeux.

Les jeux à information complète, tels que les échecs ou le go, utilisent les mathématiques discrètes et la logique. Ceux a information incomplète, comme le poker, mobilisent en outre des notions probabilistes pour tenter d'apprivoiser une part de hasard. Et aujourd'hui, l'outil informatique est venu

La notion de fonction, omniprésente dès les origines des sciences, se précise au XVIIe siècle pour les besoins de la physique. Il devient alors possible, grâce au calcul infinitésimal, d'étudier les trajectoires, vitesses et accélérations d'objets en déplacement, comme les billes... ou les planètes. L'intuition physique doit alors faire place à la rigueur d'un raisonnement mathématique. C'est l'occasion pour Newton, Leibniz et Bernoulli de mettre en évidence le concept sur lequel s'appuyer : celui des fonctions, précisément !

Et si on rendait aux maths leur qualité ludique ? Si on faisait fi des soucis quelles nous causent pour laisser le charme agir ? Cest ce que fait depuis plus de trente ans le concours Kangourou : soumettre des « espiègleries » à des candidats qui, sans se préoccuper de leurs résultats scolaires parfois stigmatisants, ou- blient quils font des maths. pour, in fine, se rendre compte quils les adorent et quils deviennent même doués !
Nul besoin dénormément de connaissances, tout dépend de sa capacité à raisonner : en somme,bons ou mauvais élèves, quimporte ! Les derniers de la classe pourront être les premiers, et inversement. Langage universel, les mathématiques sont omniprésentes dans le monde qui nous entoure !
Dans ce nouveau numéro hors-série, il y en aura pour tous les goûts : curiosités, tours de magie, figures géométriques, énigmes historiques, grilles, illusions doptique.
Et si le jeu était, finalement, le meilleur moyen de progresser ? Lire la suite Fermer

Comment ne pas dissocier ce que font et ce que pensent les mathématiciens? Autrement dit, comment associer au mieux à la fois l'objet des mathématiques et les objets mathématiques? Toute tentative pour rendre compte de la spécificité de l'objectivité mathématique rencontre de fait l'écueil consistant à en faire une objectivité sui generis. Comment alors continuer à faire d'elle aujourd'hui un modèle d'objectivité en général - ce qu'elle a longtemps été, pour la théorie de la connaissance?
La querelle des universaux du Moyen-Âge a opposé au réalisme platonicien le conceptualisme et le nominalisme, auxquels ont d'abord fait écho dans les mathématiques du 20ième siècle l'intuitionnisme et le formalisme. Les débats se sont ensuite enrichis au long du siècle d'apports logiques, mathématiques et philosophiques croisés. On pourra citer ici les noms de Benacerraf, Brouwer, Cavaillès, Enriques, Godel, Granger, Hilbert, Husserl... Les contribu-tions rassemblées dans ce numéro cherchent, chacune à sa manière, à actualiser ces contribu-tions et débats. Lire la suite Fermer

Les mathématiques et la chimie sont deux piliers de la science moderne.
Leurs origines sont séculaires et leurs racines profondes : les Grecs anciens associaient déjà la matière à certains polyèdres. Par la suite, un géant tel que Newton se passionnait pour l'alchimie aussi bien que pour les lois mathématiques qui régissent le monde physique. Quant au 'ou siècle, il marque l'avènement de la conception quantique du monde. Aujourd'hui, de la cristallographie au génie chimique en passant par les oxydoréductions, la thermochimie ou l'atomistique, il apparaît que les mathématiques discrètes, les transformations géométriques, les fractales, les systèmes dynamiques ou les équations aux dérivées partielles sont indispensables.
Venez découvrir que, là encore, le cloisonnement n'est pas de mise !
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Algorithmes en folie !


Des maths dont plus personne ne peut se passer aujourd'hui ? Il s'agit bien sûr des algorithmes, présents au quotidien derrière nos ordinateurs, nos tablettes et nos téléphones : ils sous-tendent la programmation et donc une gigantesque partie des développements informa- tiques modernes. L'algorithmique a enfin fait son entrée dans les programmes scolaires au cours des dernières années. Que de chemin parcouru depuis le fameux algorithme d'Euclide ! Hélas, peu de ressources existent pour aider les enseignants ou le public curieux à appréhender ces objets mathématiques. La cryptographie, la finance, la théprie des jeux, l'optimisation et la gestion intelligente des données mobilisent en effet mille subtilités algorithmiques... enfin dévoilées dans cet ouvrage.

Pourquoi la biologie a-t-elle aujourd'hui autant besoin des mathématiques ? Comment se manifestent ces interactions ? La " mathématisation du vivant " est-elle seulement possible ? Les liens déjà existants entre mathématiques et biologie ont permis de mieux appréhender le vivant à travers les probabilités, les statistiques, la modélisation, l'algorithmique, la géométrie. Les mathématiques permettent d'extraire les informations utiles parmi des masses de données, d'élaborer des modèles pertinents dans un monde d'une complexité infinie.

Les suites évoquent pour beaucoup le divertissement qui consiste, connaissant les premiers termes, à deviner les suivants. Si la recherche de la loi qui préside à la constitution d'une suite peut s'avérer distrayante et donner lieu aux fameux "tests de logique", ce n'est qu'un minuscule aspect de la richesse que revêt l'étude des suites. Car, une fois le mécanisme de constitution d'une suite défini, il peut s'avérer passionnant de comprendre comment se comporte son "terme général", d'en donner éventuellement l'expression, et surtout de s'interroger sur son comportement à l'infini. Parmi les différents types de comportement, la "convergence" retient toute l'attention des mathématiciens. Elle consiste à exprimer que la suite se rapproche de plus en plus près d'un nombre (ou, pour les suites de fonctions, d'une fonction) qu'elle n'atteindra jamais, la "limite". Mais c'est à travers la suite qui converge vers cette limite que les propriétés de cette dernière seront mises en évidence. Un autre domaine passionnant d'étude concerne les "séries", qui ne sont rien d'autre que la totalisation de la suite. Calculer les "sommes partielles", mais surtout prévoir le comportement asymptotique de cette somme a ouvert aux mathématiciens, au fil des siècles, des horizons insoupçonnés.
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Compter, dénombrer. Si beaucoup de monde pense savoir compter, il en est peu qui maitrisent le dénombrement. Parmi tous les outils disponibles pour dénombrer, la combinatoire est une discipline privilégiée. Elle est à l'origine de la théorie des probabilités.
Mais les mathématiques discrètes c'est aussi de nombreux développements plus récents : les graphes, les arbres, les réseaux, les grammaires et bien d'autres objets incontournables, utilisés en informatique, dans la plupart des sciences et en théorie des jeux et de la décision.

Ils ont fait connaître et aimer les mathématiques, ils ont donné envie d'en savoir plus, ils ont suscité des vocations, ils ont porté haut les couleurs de la science française et francophone.
- Enseignants, pédagogues, instituteurs, ils ont défendu l'idée que l'on peut enseigner les mathématiques autrement, que l'on peut les expérimenter, les vivre au quotidien, et qu'elles font partie de la culture que doit posséder l'honnête homme. Ils savent en transmettre les richesses et l'esthétique.
- Écrivains, chroniqueurs, journalistes, ils ont eu le talent d'intéresser un vaste public en diffusant, vulgarisant, popularisant la culture mathématique.
- Animateurs, magiciens, créateurs de jeux, ils ont su soulever les foules autour des événements qu'ils ont créé ou de l'intérêt ou l'étonnement qu'ils ont suscité.
- Scientifiques, philosophes, chercheurs, ils ont inventé des concepts tellement puissants que leurs noms sont connus et admirés de tous.
C'est à eux, célébrités et anonymes, qui ont consacré du temps et de l'énergie, chacun à sa façon, à promouvoir une autre image des mathématiques, que cet ouvrage est consacré. Ils méritent tous le titre d'ambassadeurs des mathématiques que Tangente leur a décerné. Un livre indispensable dans la bibliothèque de tous les amateurs !
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La géométrie, via la géodésie et la cartographie, est un lien fort entre les mathématiques et la géographie. Aujourd'hui plus que jamais, notre monde rapproche ces deux disciplines, avec par exemple le GPS, la géologie ou la climatologie. Mais ce sont également des modèles mathématiques qui servent à décrire les populations, leurs caractéristiques, leur évolution. Derrière ces modèles, un mystère fascinant : la théorie du chaos.

Sous le nom d'intégrale se cache une idée simple, belle et puissante, qui a mis plusieurs siècles pour arriver à maturité. Comment calculer l'aire d'une zone délimitée par une courbe ? Le génial Archimède découpe la surface à mesurer en objets géométriques élémentaires, puis il procède par encadrements successifs. C'est le point de départ d'une théorie qui se précisera au fil des siècles. Newton et Leibniz s'emparent de la question, se mènent une guerre sans merci qui débouchera sur la fondation du calcul intégral. Grâce à eux, l'analyse se met au service de la géométrie. La machine est lancée, et ne s'arrêtera plus. Le XIXe siècle sera celui de l'utilisation du calcul intégral dans toutes les branches de la physique. La théorie progressera, notamment avec Riemann.
Elle débouche aujourd'hui sur des extensions permanentes. C'est cette histoire, accompagnée d'explications théoriques détaillées, que raconte cet ouvrage.
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Quelle est l'origine de ce plaisir esthétique qui traverse chaque usager des mathématiques ? Pourquoi n'est-il pas accessible au profane ? À partir de ce questionnement, les composantes intimes des mathématiques, familières aux spécialistes, se dévoilent aux yeux de tous. Et le ressort de chacune des démonstrations choisies par les auteurs illustre de façon saisissante ce qu'on peut entendre par « beauté ».
Les mathématiques, sans qu'on les perçoive forcément, peuvent également se mettre au service de nombreuses techniques artistiques pour créer la beauté. C'est le deuxième thème de l'ouvrage, illustré par des exemples dans de nombreux domaines, de la musique aux arts plastiques ou à la littérature.
Enfin, les auteurs se sont posé une question qui, en apparence, n'a de commun avec l'esthétique que la sonorité du mot : peut-on définir une éthique des mathématiques ?
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Les taux, les indices, l'inflation sont des notions relativement familières. Mais la Bourse, qui a pris une telle importance, n'est pas forcément maîtrisée par ceux-mêmes qui y sont confrontés, consciemment ou non.
Derrière les cours et les indices boursiers, se cachent des mathématiques.
Plus coriace sur le plan théorique : l'option est le droit d'acheter ou de vendre un actif à une date future moyennant un certain prix. Sa théorisation mathématique est au coeur d'une vraie révolution conceptuelle qui a valu le prix Nobel à ses auteurs.
Cet ouvrage contient tout ce que les utilisateurs de la finance moderne ont besoin de connaître. Il sera utile aux simples particuliers, mais aussi aux étudiants et à tous ceux qui ont besoin, dans le cadre de leur métier, de décoder les mécanismes bancaires et boursiers.
Cette nouvelle édition explique de plus le fonctionnement des dernières crises et en tire les conséquences.
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La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait la spécificité des mathématiques.
L'ouvrage fait le point sur la variété des méthodes utilisées pour démontrer, mais aussi sur la créativité dont il faut faire preuve quand la seule façon de faire consiste à sortir des sentiers battus.
Il évoque également les remises en cause nées au vingtième siècle des travaux de Kurt Gödel.

Les aléas de la vie sont nombreux : les particuliers essaient de mettre leurs proches à l'abri, les professionnels de se prémunir contre les risques financiers ou climatiques. Seules les mathématiques du hasard sont à même de proposer des modèles intégrant de manière satisfaisante ces composante aléatoires.
Les premières rentes viagères datent de. l'Antiquité ! Durant des siècles, ont été proposés des produits financiers, évidemment moins sophistiqués que ceux d'aujourd'hui. Et puis, au XVIIIe siècle, la statistique a émergé en tant que discipline scientifique autonome. Il devient possible de collecter des données fiables, d'établir des tables de mortalité et de résoudre d'innombrables problèmes. Aujourd'hui, les actuaires manipulent des chaînes de Markov, des mouvements browniens et même des outils de théorie des jeux et de mathématiques de la décision !
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On connaissait l'usage des probabilités pour dépister certaines maladies ou pour tester l'effet de vaccins ou de médicaments, en intégrant en particulier ce qu'on appelle l'effet placebo. On a progressé ces dernières décennies dans la connaissance de la propagation des épidémies, ce qui a considérablement affiné la lutte contre elles et donné plus de sens à la façon d'utiliser la vaccination. Mais les progrès récents de la médecine dans leurs différentes directions (étude de l'ADN, imagerie, objets connectés, lutte contre le cancer) utilisent encore plus de mathématiques : statistiques, bien sûr, mais aussi géométrie, analyse de Fourier, équations différentielles, systèmes dynamiques, théorie des ondelettes...