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Cassini
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La vie de Stanislas Ulam est faite de rencontres. Du Café écossais de Lwów, dans la Pologne d'avant-guerre, où les mathématiciens de l'université passaient leurs jours et leurs nuits à discuter et à travailler, au laboratoire de Los Alamos, où fut conçue la bombe atomique américaine, dans un effort collectif sans précédent, Ulam a collaboré avec les plus grands. Il en résulte un livre rempli d'anecdotes plaisantes et instructives, et de spéculations prophétiques.
Plus que l'autobiographie du mathématicien Stanislas Ulam (1909-1984), un des grands esprits du XXe siècle, ce livre pourrait avoir pour titre La science du XXe siècle vue par un mathématicien.
Mathématicien pur et logicien à Lwów, alors en Pologne (aujourd'hui Lviv en Ukraine, et au temps de la naissance d'Ulam, Lemberg en Galicie, dans l'Empire austro-hongrois), Ulam fut sauvé de la guerre et de l'holocauste par une bourse qui lui fut proposée à Princeton, U.S.A. en 1938. Ayant demandé (à John von Neumann en personne) à participer à l'effort de guerre, il fut précipité à Los Alamos, où les plus grands physiciens du moment construisaient la bombe atomique.
Il s'y trouva s'y bien qu'il y resta la guerre finie, alors que la plupart de ses collègues regagnaient leurs amphis et leurs laboratoires, et c'est lui qui proposa la conception finalement adoptée pour la bombe H (il avait assuré à sa femme que le bombe H, la super, comme on disait, rendrait impossible la guerre nucléaire).
Après 1951, Ulam alterna l'enseignement universitaire et le travail à Los Alamos.
Pour la plus grande part, ce livre a pour sujet les rencontres d'Ulam avec de grands savants, notamment Banach, von Neumann, Fermi et de moins grands (Ulam, qui était un grand résolveur de problèmes, a publié des articles en collaboration avec plus de cinquante collaborateurs différents). Il fourmille d'anecdotes plaisantes, comme d'informations utiles à l'histoire des sciences.
Mais ce n'est pas seulement cela qui en fait la valeur.
Ulam montre au lecteur comment des mathématiques nouvelles peuvent naître de problèmes pratiques, comment diverses théories mathématiques se lient entre elles et avec la physique et les autres sciences (Ulam s'est aussi occupé de biologie et son dernier poste, à l'université du Colorado, était un poste de professeur de biomathématiques) et se livre à quelques spéculations, notamment sur l'usage des ordinateurs, qui aujourd'hui nous apparaissent prophétiques.
Le style est vivant, c'est celui d'un mathématicien dont l'oeuvre est en grande partie orale, faite de conversations avec les collègues, et l'humour est toujours présent.
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Qu'est-ce que les mathématiques ? une introduction élémentaire aux idées et aux méthodes
Richard Courant, Herbert Robbins
- Cassini
- Documents
- 29 Mai 2018
- 9782842252366
Qu'est-ce que les mathématiques? s'adresse à toute personne ayant terminé ses études secondaires, c'està- dire non seulement aux étudiants de toutes disciplines et au grand public cultivé.
L'étudiant en mathématiques, quant à lui, découvrira un monde d'idées dont il est tenu à l'écart par l'enseignement strictement utilitaire qui lui est le plus souvent dispensé.
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Leçons de mathématiques d'aujourd'hui t.5
Pierre Mounoud, Collectif
- Cassini
- Le Sel Et Le Fer
- 29 Novembre 2019
- 9782842251697
Sept des douze leçons sont consacrées à la convergence entre mathématiques et physique, ou entre mathématiques et informatique. C'est l'esprit du temps qui le veut. Le volume 2 sera réimprimé à la même date.
Les douze auteurs sont tous des mathématiciens (français, russes, anglais, américains, suisses) de grande réputation internationale.
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Théorie mathématique de la communication
Claude Shannon, Warren Weaver
- Cassini
- Le Sel Et Le Fer
- 2 Mai 2018
- 9782842252229
Peu de livres ont eu une influence aussi durable et joué un rôle aussi important dans le monde moderne que Théorie mathématique de la communication, publié à l'origine comme un article technique dans le Bell Systems Technical Journal.
Les idées de Shannon, qui forment la base de ce qu'on appelle aujourd'hui théorie de l'information, ont joué un rôle essentiel aussi bien dans l'avènemement de l'ère informatique moderne (sans elles, aucun ordinateur, aucun téléphone, aucun réseau ne pourrait fonctionner) que dans les sciences humaines, et en biologie.
En fait on les retrouve partout où on étudie la transmission ou la conservation de l'information : psychologie, linguistique, biologie de l'ADN, des organismes, du cerveau. À la source des disciplines appelées aujourd'hui sciences de l'information et de la communication, sciences cognitives, neurosciences, on trouve encore Shannon, et le modèle général de la communication entre systèmes de Shannon se retrouve aussi dans les cours faits aux cadres du marketing, aux futures professeurs ou aux futures infirmières.
L'article de Shannon est rédigé dans un style simple et accessible, mais il devient technique au bout de quelques dizaines de pages. C'est pourquoi l'éditeur de la version original l'a fait précéder d'un article de vulgarisation rédigé par son collègue et supérieur de l'époque Warren Weaver.
La première édition française a paru en 1975 aux éditions Retz, dans la collection Les classiques des sciences humaines.
La présente édition reprend cette traduction, avec quelques corrections et une nouvelle préface.
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Anthologie de la calculabilité
Michel Bourdeau, Jean Mosconi
- Cassini
- Nouvelle Bibliotheque Mathematique
- 27 Avril 2022
- 9782842250942
La théorie de la calculabilité est avec l'électronique la source de l'informatique.
C'est pour donner une définition précise de la notion de « calcul automatique » ou d'« algorithme » et répondre à la question de Hilbert « les mathématiques peuvent-elles être réduites à un calcul automatique ? » que Turing a imaginé en 1936 sa « machine ».
La réponse à cette question est NON, comme les mathématiciens Gödel et Church l'avaient prouvé avant Turing, mais la démonstration de ce dernier est limpide, et c'est la machine de Turing qui a servi de modèle aux ordinateurs d'aujourd'hui. En même temps, Turing répondait aussi par la négative à une question qui n'avait pas encore été posée, et pour cause : la vérification des programmes est-elle automatisable ?
Autour des articles historiques publiés par Gödel et Turing,ce livre réunit les textes fondateurs de la théorie de la calculabilité, soigneusement traduits en français (de l'allemand, du russe, de l'anglais), annotés et commentés. Si deux ou trois noms se détachent, les autres acteurs n'en sont pas moins importants.
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Une singulière promenade mathématique
Etienne Ghys, Nicolas Bacaër
- Cassini
- 29 Septembre 2023
- 9782842253004
Partant d'un petit dessin de Kontsevitch au dos d'un ticket de métro, une promenade dans les mathématiques d'aujourd'hui et d'hier, puisque l'on rend visite à Hipparque, Newton et Gauss. En chemin, Etienne Ghys nous fait jouer avec un peu d'algèbre, de topologie, de géométrie, d'analyse complexe, de combinatoire et d'informatique. Ce livre s'adresse aussi bien aux étudiants motivés qu'aux mathématiciens plus avancés en leur proposant des perspectives inhabituelles sur les mathématiques. Ce livre unique est le précurseur d'une nouvelle façon de communiquer les mathématiques. Sergei Tabachnikov (The Mathematical Intelligencer)
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La théorie des graphes est issue de problèmes ayant l'allure de jeux mathématiques, comme le problème du « voyageur de commerce » : tracer le plus court chemin que pourrait emprunter un représentant pour rendre visite à ses clients dans une série de villes, en ne passant qu'une seule fois dans chaque ville. Elle a d'abord trouvé des applications en théorie des probabilités.
Ses applications actuelles sont orientées vers la logistique et l'informatique (optimisation des réseaux de transport, de personnes, de marchandises ou de données, optimisation des itinéraires, du stockage, Internet, GPS, architecture des ordinateurs) et elle suscite de ce fait un intérêt grandissant. En retour, on utilise abondamment l'informatique pour donner des solutions pratiques aux problèmes de graphes que l'on se pose, d'où l'importance donnée dans ce livre aux algorithmes.
La théorie des graphes a été introduite il y a une quinzaine d'années dans les programmes du secondaire français, et ce livre a été écrit à cette occasion, à l'intention des professeurs.
Un graphe se définit simplement comme un ensemble de points dont certains sont reliés par des lignes.
Le premier problème considéré comme un problème de théorie des graphes est celui des sept ponts de Königsberg (Euler, 1736), qu'on peut aisément transposer à Paris : peut-on effectuer une promenade qui nous ramène à notre point de départ en empruntant une fois et une seule chacun des ponts de la ville ?
La formulation de ce problème comme un problème de graphes fait intervenir quatre points, A, B, C, D représentant respectivement la rive droite, la rive gauche, l'île de la Cité et l'île Saint-Louis, et des lignes reliant ces points, représentant les ponts. Le célèbre problème des quatre couleurs (peut-on colorier n'importe quelle carte avec quatre couleurs seulement, de façon que deux pays voisins n'aient pas la même couleur ?) peut aussi se traduire un termes de graphes : un point par pays, une ligne reliant deux points si les deux pays ont une frontière commune. Et il est de même du célèbre problème du loup, de la chèvre et du chou.
On conçoit qu'un grand nombre de problèmes de la vie économique puissent être traités et résolus comme des problèmes de graphes : pour une compagnie aérienne, comment éviter qu'à un certain moment tous les avions se trouvent d'un côté de l'Atlantique et presque tous les pilotes de l'autre côté ? Vu le grand nombre de données en jeu, la résolution pratique de ce genre de problème implique l'usage des ordinateurs.
L'informatique, avec ses réseaux, avec l'architecture des ordinateurs, est elle-même la plus grande consommatrice de théorie des graphes.
On peut être surpris que des objets aussi pauvres que les graphes puissent donner lieu à une théorie aussi riche. La réponse est certainement dans la variété des problèmes posés par les applications.
Le livre de Cogis et Schwartz, qui n'oublie pas l'anecdote et les applications, présente la théorie de graphes comme une théorie mathématique, avec des définitions et des énoncés précis, et des démonstrations complètes ce qui est nécessaire pour permettre à l'étudiant de comprendre et d'élaborer lui-même les algorithmes de résolution des problèmes qui forment une partie essentielle du livre.
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équations différentielles
Florent Berthelin
- Cassini
- Enseignement Des Mathematiques
- 23 Juin 2017
- 9782842252298
Équations différentielles est un ouvrage quasi-encyclopédique. Tout en exposant la théorie des équations différentielles avec rigueur, il comporte des centaines d'exemples traités dans le plus grand détail. Il intéressera non seulement les candidats à l'agrégation de mathématiques, à qui il est destiné, mais aussi tous ceux qui veulent dominer le sujet dans tous ses aspects.
Rédigé au départ à l'intention des candidats à l'agrégation de mathématiques, cet ouvrage très complet intéressera tous ceux qui ont affaire aux équations différentielles.
Tous les énoncés sont démontrés de façon précise et détaillée, et précédés ou suivis de nombreux exemples traités eux aussi dans tous leurs détails. S'y ajoutent 150 exercices complètement corrigés.
Après la théorie générale de l'existence et de l'unicité des solutions, dans les cadres linéaire et non linéaire, l'ouvrage aborde la résolution explicite de quelques équations « historiques » et la résolution par les développements en série des équations linéaires. À cette occasion est introduite la théorie de Fuchs des points singuliers et irréguliers. C'est dire que l'ouvrage ne se contente pas de reprendre l'enseignement élémentaire sur le sujet, mais qu'il traite en même temps de questions moins accessibles, dont l'importance théorique et le rôle dans les applications sont indéniables.
Le même principe est suivi dans les autres chapitres, qui sont relativement indépendants : équations autonomes et champs de vecteurs, étude qualitative des points stationnaires et des orbites, stabilité, hyperbolicité, zéros des solutions d'équations scalaires et théorie de Sturm de l'oscillation et de la comparaison des solutions des équations du second ordre, théorie de Floquet pour les équations à coefficient périodiques. Un chapitre est consacré aux schémas de résolution numérique, suivi d'un chapitre sur les équations avec conditions de bord, notamment à l'équation de Sturm-Liouville, traitée de façon classique, puis par les méthodes hilbertiennes, prélude au traitement numérique de cette équation. Ce chapitre peut servir d'introduction au traitement numérique des équations aux dérivées partielles (EDP). Le dernier chapitre est consacré aux équations différentielles issues de la physique et aux méthodes qui permettent de ramener certaines EDP à des équations différentielles ordinaires : méthode des caractéristiques pour les EDP du premier ordre, méthode de séparation des variables.
L'ouvrage est complété par un important appendice consacré à l'analyse (convergence uniforme, topologie, intégrales dépendant d'un paramètre, espaces de Banach et théorèmes de points fixe, méthodes hilbertiennes, séries de Fourier, transformation de Laplace, calcul différentiel), sujet dont certaines bases peuvent manquer aux étudiants en mathématiques qui abordent les équations différentielles, comme aux non-mathématiciens qui recherchent des informations précises sur les équations différentielles et leurs solutions.
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Olympiades internationales de mathématiques 2006-2021
Pierre Bornsztein, Thomas Budzinski, Vincent Jugé
- Cassini
- Enseignement Des Mathematiques
- 10 Novembre 2021
- 9782842252625
Ce livre prend la suite de Olympiades internationales de mathématiques 1977-2005, par Paul Bourgade (qui reste en vente).
Les solutions des problèmes d'olympiades sont accompagnées d'un riche corpus de commentaires et d'explications.
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Géométrie t.2
Marcel Berger
- Cassini
- Nouvelle Bibliotheque Mathematique
- 30 Novembre 2016
- 9782842251468
Actions de groupes ; espaces affines et projectifs ; espaces euclidiens, triangles, cercles et sphères ; convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aire et volume ; formes quadratiques, coniques, quadriques ; la sphère pour elle-même (géométrie sur la sphère, géométrie de l'inversion), géométrie hyperbolique, l'espace des sphères.
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Séries et intégrales de Fourier
Harry Dym, Henry P. Mckean
- Cassini
- Nouvelle Bibliotheque Mathematique
- 30 Novembre 2016
- 9782842251475
Ce livre est consacré aux séries, puis aux intégrales de Fourier, à l'interaction de l'analyse de Fourier avec l'analyse complexe, et enfin dans un dernier chapitre très original, à l'analyse de Fourier « non commutative », traitée sur des exemples qui permettent aux débutants d'en découvrir les aspects essentiels sans être rebutés par les préliminaires techniques habituels.
Le style est extrêmement vivant, et une grande partie des développements sont confiés au lecteur, dans des exercices qui interrompent les démonstrations.
Extraits du Bulletin of the American Mathematical Society : « Ce qui a manqué jusqu'à aujourd'hui [1972], c'est un manuel à la portée d'un public assez large, qui explique de quoi parle l'analyse de Fourier ; qui explicite les relations qu'elle entretient avec les probabilités et la théorie des nombres, les fonctions elliptiques et les équations différentielles, l'électronique et la mécanique quantique ;
Et qui combine tout cela proprement. [...] Sans exagérer, on peut dire qu'il s'agit d'un des livres d'analyse les plus importants de ces dernières années.
Dym et McKean ont écrit un livre remarquable, qu'on aimerait voir dans la bibliothèque de tous les analystes, et entre les mains de tous leurs étudiants. »
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Cet ouvrage s'adresse à tous les étudiants de troisième année de licence de mathématiques.
Ii a pour but de les aider à acquérir des bases solides en algèbre dans la perspective de leurs examens et de leurs études ultérieures (master, capes, agrégation). il est le fruit de nombreuses années d'enseignement de l'algèbre à l'université paris-nord (villetaneuse), puis à l'iumm de poitiers, où l'auteur dirige actuellement la préparation au capes de mathématiques. les sujets choisis sont ceux que l'on enseigne habituellement à ce niveau : arithmétique, pour elle-même et pour son utilisation en algèbre ; groupes, groupes de la géométrie, groupes de permutations, théorèmes de sylow, présentations de groupes par générateurs et relations ; anneaux et idéaux, anneaux principaux, euclidiens ; polynômes et fractions rationnelles, extensions de corps.
Les solutions des exercices proposés sont entièrement rédigées, car il s'agit bien de démonstrations et non de calculs, comme ceux qui constituent dans les deux premières années d'université la plupart des preuves. même dans le cas où, in fine, c'est un calcul qui apporte la solution, il est important de comprendre pourquoi c'est précisément celui-là qui est à faire. les résumés de cours qu'on trouvera au début de chacun des chapitres ont fait l'objet d'un soin tout particulier.
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Ce petit livre est destiné à un public large, aussi les mathématiques n'y sont-elles qu'exceptionnellement tolérées et toujours à titre facultatif. En précisant, quelquefois contre le bon sens, la notion de probabilité, il veut éviter au lecteur de se laisser piéger par des statistiques (fussent-elles correctes) « démontrant » des causalités imaginaires et souvent intéressées.
Comme tous les événements sont réputés arriver soit par hasard, soit « pas par hasard », on comprend que rien ne saurait échapper à un prétendu « traité de hasardologie ». Voilà pourquoi, le lecteur trouvera pêle-mêle des considérations sur l'astrologie, la mécanique quantique, les scores du football et les blagues de Coluche.
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Geometrie t.1
Marcel Berger
- Cassini
- Nouvelle Bibliotheque Mathematique
- 30 Novembre 2016
- 9782842251451
Actions de groupes ; espaces affines et projectifs ; espaces euclidiens, triangles, cercles et sphères ; convexes et polytopes, polyèdres réguliers, aire et volume ; formes quadratiques, coniques, quadriques ; la sphère pour elle-même (géométrie sur la sphère, géométrie de l'inversion), géométrie hyperbolique, l'espace des sphères.
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Exercices de mathématiques ; oraux x-ens ; analyse 4
Serge Francinou, Hervé Gianella, Serge Nicolas
- Cassini
- Enseignement Des Mathematiques
- 11 Mai 2012
- 9782842251574
Le volume Analyse 4 est le septième et dernier volume de la série. Thèmes traités :
- Fonctions de plusieurs variables et calcul différentiel - Intégrales multiples - Équations différentielles - Courbes et surfaces - Divers problèmes de géométrie
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Les plus belles formules mathématiques
Lionel Salem, Frédéric Testard, Coralie Salem
- Cassini
- Le Sel Et Le Fer
- 20 Novembre 2015
- 9782842252076
Ce petit ouvrage, le premier de notre collection Le Sel et le Fer, a été vendu à 11 000 exemplaires.
Nous le remettons aujourd'hui en vente, après qu'il ait été absent des librairies pendant quelques années.
Ses premiers fans ont été deux manutentionnaires de Géodis, qui voyant les couvertures à travers le plastique enveloppant la palette se sont écriés : « Oh, y a des cosinus ! » (et ont eu droit aux premiers exemplaires). Le livre convient à tous, et notamment aux lycéens à partir de la seconde.
Extrait de la 4e de couverture. Les mathématiques sont sûrement très utiles, elles sont aussi amusantes et fascinantes.
En nous racontant très simplement des histoires, réelles ou imaginaires, joliment illustrées, les auteurs nous révèlent le sens profond des formules mathématiques, nous les rendent évidentes, et nous expliquent comment elles ont été découvertes.
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Mathématiques pour étudiants de 1ère année ; algèbre et géométrie
Eric Lehman
- Cassini
- Cassini
- 8 Janvier 2016
- 9782842252090
L'ouvrage s'adresse à tous les étudiants de 1re année, mais l'auteur s'est attaché à tenir compte de la diversité des motivations et de l'hétérogénéité du milieu étudiant.
Sa méthode consiste à d'abord présenter les notions essentielles d'un point de vue algorithmique, permettant à chacun de se mettre au travail, mais aussi à explorer aussi profondément que possible leur champ d'application. L'exposé de la structure ne vient qu'une fois acquise une accoutumance aux contenus à structurer.
L'ouvrage est divisé en cinq parties ou « thèmes ». I. Ensembles de nombres entiers, de la combinatoire à l'arithmétique. II. Nombres réels et nombres complexes, polynômes. Le thème III présente divers aspects de la géométrie élémentaire omniprésents en physique et souvent oubliés par les enseignants en mathématiques, bien qu'ils servent de base intuitive aux développements ultérieurs des mathématiques. Le thème IV expose l'algèbre linéaire telle qu'elle apparaît dans la pratique : systèmes linéaires et calculs matriciels. Le thème V a pour but de faire comprendre la notion de structure algébrique à partir de la description de structures classiques : ordre, groupes, anneaux et corps, espaces vectoriels.
L'ouvrage comporte environ 450 figures et tableaux, et plus de mille exercices avec corrigés, réponses ou indications de solution. La couleur est utilisée dans le texte et les illustrations.
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Problemes pour mathématiciens, petits et grands
Paul Halmos
- Cassini
- Le Sel Et Le Fer
- 3 Septembre 1998
- 9782842250126
Les concombres, comme chacun sait, sont composés à 99 % d'eau.
On laisse reposer 500 kilos de concombres pendant une nuit, et le lendemain, les concombres ne contiennent plus que 98 % d'eau. quel est le poids des concombres au matin ? c'est l'un des problèmes favoris du célèbre mathématicien paul halmos, grand amateur et collectionneur de problèmes. ne répondez donc pas trop vite. en voici un autre. le plan peut être rempli par des droites disjointes, par exemple toutes les droites parallèles à l'axe des x.
Peut-on de la même façon remplir le plan par des cercles disjoints ? attention : vous n'avez pas droit aux cercles de rayon nul (les points), ni aux cercles de rayon infini (les droites). certains des problèmes de ce livre peuvent être résolus par des lycéens, d'autres demandent la maturité d'un mathématicien professionnel. chacun d'eux est une histoire que nous conte halmos. il éveille notre curiosité, donne des indications, et livre enfin une solution complète, toujours instructive, même pour ceux qui avaient " trouvé ".
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Regards sur les textes fondateurs de la science t.1 ; de l'écriture au calcul ; théorie des nombres
Alexandre Moatti
- Cassini
- Le Sel Et Le Fer
- 10 Janvier 2011
- 9782842251482
Cet ouvrage a pour but d'amener le lecteur à la rencontre de textes scientifiques originaux, s'échelonnant pour la plupart du XVIIe au début du XXe siècle. Quinze scientifiques contemporains ont chacun choisi un texte ancien qu'ils aiment, manuscrit, article ou quelques pages d'un livre et en présentent une analyse. En suivant le texte de près, avec des citations abondantes, ils s'attachent à expliquer la démarche et la nature des résultats d'un savant dont la pensée compte encore à notre époque. La première partie, De l'écriture au calcul, présente quelques jalons marquants de l'histoire du calcul : l'apparition de v2 sur la tablette d'un scribe babylonien, les prémisses de la notion de dérivée chez Fermat, la naissance des coordonnées cartésiennes, la machine à calculer de Pascal, la courbe transcendante de la chaînette découverte par Leibniz, le plan complexe d'Argand, les groupes de Galois, les matrices de Cholesky. La deuxième partie, dont le titre est Théorie des nombres, suit à travers ses acteurs certaines grandes avancées de cette branche des mathématiques : Lambert et l'irrationalité de n, une démonstration facile de l'irrationalité de e par Fourier, la mise en évidence du premier nombre transcendant par Liouville. la démonstration du caractère transcendant de e par Hermite, les deux infinis de Cantor. Ce volume, consacré aux mathématiques, est le premier d'une collection qui abordera d'autres disciplines. Elle vise à présenter une histoire des sciences accessible et mise en relation avec les connaissances scientifiques les plus répandues.
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Theorie des erreurs
Nicolas Bouleau
- Cassini
- Nouvelle Bibliotheque Mathematique
- 13 Novembre 2019
- 9782842252656
Les méthodes classiques de calcul d'erreurs, inventées au début du XIXe siècle (par les mathématiciens Laplace et Gauss) pour la pre´cision des calculs astronomiques, ont e´te´ tre`s utiles aux physiciens et aux inge´nieurs et rendent encore quelques services.
Mais elles sont inadapte´es aux calculs complexes effectue´s aujourd'hui par les ordinateurs, et notamment à ceux qui mettent en jeu l'aléatoire. En calcul des structures, en automatique et traitement du signal, en aéronautique, en statistiques, pour la pre´vision climatique, pour l'optimisation ou les mathe´matiques financie`res, leur application interdit une bonne maîtrise des précisions et des tolérances.
Il était donc devenu nécessaire d'élaborer de nouvelles méthodes, fondées sur des bases mathématiques rigoureuses. De nombreux chercheurs, dont Nicolas Bouleau, s'y sont employés depuis les années 1990, et leur travail est aujourd'hui assez abouti pour être exposé sous forme d'un manuel destiné aux étudiants.
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Séries de Fourier et ondelettes
Jean-Pierre Kahane, Pierre Gilles Lemarié-Rieusset
- Cassini
- Nouvelle Bibliotheque Mathematique
- 30 Novembre 2016
- 9782842251611
La pérennité du contenu, à la fois technique et historique, par moment à la limite de la vulgarisation (pour étudiants avancés), justifie largement une réédition.
Cette nouvelle édition comporte quelques corrections mineures.
Ce livre part de l'équation de la chaleur de Joseph Fourier (1807) pour aboutir à la très récente théorie des ondelettes. Dans la première partie, rédigée par Jean-Pierre Kahane, on voit défiler Fourier, Dirichlet, Riemann, Cantor, Lebesgue, et se développer des notions fondamentales de l'analyse, à commencer par la notion moderne de fonction, à l'occasion de l'étude des séries de Fourier. Dans la seconde rédigée par Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset un bref exposé historique conduit à un véritable traité de la théorie moderne des ondelettes, l'outil le plus récent de l'analyse harmonique. La première partie, sans s'interdire l'actualité, a un caractère historique, et fait une grande place à des extraits d'oeuvres marquantes. La seconde partie, dont le contenu intéresse les physiciens et les ingénieurs autant que les mathématiciens, peut être lue indépendamment. Leur juxtaposition est tout à l'égard de la démarche de Fourier, celui-ci apparaît aujourd'hui, avec la transformée de Fourier rapide, la théorie du signal, les ondelettes, comme un précurseur dans la recherche de méthodes puissantes et efficaces pour le traitement de questions diverses issues de l'étude de la nature ou de la technique. Ainsi la théorie analytique de la chaleur et le développement d'une fonction en harmoniques, à la Fourier, rejoignent les problèmes actuels de la physique théorique, de l'analyse d'images et des télécommunications, justiciables du traitement par ondelettes.
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La formation des mathématiciens est régie aujourd'hui par une volonté d'abstraction et procède fréquemment du " général " au " particulier ".
La méthode a ses avantages, elle renforce la puissance de réflexion et évite des répétitions lassantes. Mais elle place la charrue avant les boeufs, parce que l'abstraction vît d'exemples que l'élève ignore ou connaît mal. Le succès ne sourit donc qu'aux bienheureux qui savent trouver seuls le chemin de l'abstrait vers le concret. Pour éviter toute abstraction prématurée, le présent manuel part de deux cas particuliers pour aboutir au " général ".
Les démonstrations de l'algèbre abstraite sont exposées d'abord à la lumière du calcul matriciel. L'auteur s'efforce ensuite d'aiguiser l'intuition au moyen d'une analyse approfondie des notions de la géométrie élémentaire et de ses liens avec le calcul matriciel et l'analyse (trigonométrie). Ainsi le lecteur s'entraîne progressivement à l'apprentissage du langage de l'algèbre abstraite, qui est présenté en fin d'ouvrage et est illustré par quelques applications en géométrie, analyse et calcul numérique (classes de conjugaison, équations différentielles linéaires à coefficients constants, calcul des valeurs propres des matrices symétriques, fonctions sphériques).
Une place importante est accordée à l'histoire des mathématiques, dans des notices de première main comme tout au long du texte. En sus des très nombreuses figures, quarante-cinq portraits de mathématiciens illustrent l'ouvrage. Plus de quatre-vingts pages d'énoncés d'exercices (introductifs, tirés de la théorie des représentations, classiques ou originaux), un index des personnes et notions citées et un index des notations complètent l'ouvrage.
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L'objectif de ce livre, qui s'adresse aux étudiants de licence de troisième année, est l'enseignement de l'analyse : l'intégrale de Lebesgue y est considérée comme un outil, et non comme l'objet principal de l'étude. Les définitions et les techniques fondamentales étant mises en place aussi rapidement que possible, il s'agit d'apprendre à les utiliser. L'auteur observe en même temps que beaucoup de questions d'analyse ne se comprennent bien qu'en «passant dans le complexe». Si les fonctions analytiques sont souvent enseignées à part pour des raisons pédagogiques, dans toutes les grandes questions d'analyse, techniques de calcul intégral, analyse de Fourier et utilisation de la variable complexe sont en fait étroitement associées.
Un chapitre est donc consacré à l'analyse complexe immédiatement après le chapitre qui traite de l'intégration des fonctions continues et avant ceux qui sont consacrés à l'intégrale de Lebesgue (intégration dans R et Rn, espaces Lp, convolution) et aux séries et intégrales de Fourier.
La volonté d'enseigner le calcul intégral par son usage se manifeste aussi dans les très belles applications disséminées tout au long de l'ouvrage, et toujours traitées simplement : méthodes de Laplace et de la phase stationnaire, formule sommatoire d'Euler-MacLaurin, méthode du col, fonction d'Airy, aire de la sphère, poussée d'Archimède, polynômes de Legendre, quadrature gaussienne, espace de Bargmann..., applications qu'on rencontre rarement dans les cours d'intégration. Le dernier chapitre résume cette approche. On y montre comment avec un peu d'analyse de Fourier et de fonctions analytiques on peut obtenir de magnifiques formules liées à l'équation de la chaleur et aux nombres premiers. L'ouvrage s'achève par une traduction de l'article de 1859 de Riemann sur les nombres premiers, article où est énoncée la fameuse hypothèse de Riemann.
