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L'intuition visuelle qui règne dans la géométrie plane est souvent prise en défaut lorsque l'on passe à la 3D. Se représenter les volumes n'est pas évident, alors que les cercles, triangles et autres polygones ne posent pas de difficultés.
La question se pose depuis toujours aux concepteurs, artisans, architectes, ingénieurs, bâtisseurs, astronomes, artistes... Chaque corps de métier a développé un mode de représentation des objets qu'il doit manipuler. Du « patron » à la géométrie descriptive, de la projection stéréographique à la perspective, de nombreuses techniques ont été imaginées.
Ces dialogues entre le plan et l'espace ont débouché sur la quatrième dimension... et plus encore ! D'autres branches des mathématiques sont alors conviées pour révéler les secrets des dimensions.
Ce sont toutes ces explorations que ce nouveau livre très visuel de la Bibliothèque Tangente vous propose.
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Philosophie et mathématiques sont nées simultanément du regard que l'homme porte sur le monde qui l'entoure. Infini, hasard et déterminisme, logique et paradoxes sont des sujets communs aux deux disciplines qui ont toujours fasciné, et n'ont pas encore livré tous leurs secrets. Pendant toute une époque, ce sont les mêmes savants qui étaient philosophes et mathématiciens. En s'interrogeant sur la nature du savoir mathématique (les nombres existent-ils ? peut-on compter l'infini ? qu'est-ce qu'un point dans le plan ?), des penseurs et des savants comme Platon, Aristote, Pascal, Descartes, Leibniz, Poincaré ont fait avancer la réflexion.
Ces interrogations ont conduit à l'émergence de théories sur les concepts concernés mais aussi sur le langage et son efficacité, l'interaction sémantique / syntaxe ou encore le rôle de l'intuition. Elles ont aussi été à l'origine de croyances comme celle de l'existence d'entités inaccessibles.
Les enjeux de ces questionnements, de ces échanges, de ces controverses sont mis ici à la portée de tous, sans occulter les difficultés suscitées par les notions présentées.
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Mathématiques et informatique ; information, mathématique
Collectif
- Pole
- Bibliotheque Tangente
- 10 Août 2014
- 9782848841519
L'informatique est avant tout un système de représentation de l'information. Les bouleversements induits par son développement foudroyant sont tels que de nouveaux domaines de la connaissance ont vu le jour.
L'algèbre booléenne et l'algorithmique sont les outils qui permettent de numériser (« mettre sous forme de nombres »), représenter et manipuler l'information. La logique formelle comme la sémantique cherchent à préciser ce qui peut être formalisé et expliqué à un ordinateur. La théorie du signal permet de faire circuler des données d'un ordinateur à l'autre. La cryptologie vise à étudier la sécurité des données qui transitent.
Les codes correcteurs d'erreurs ont pour mission de détecter et de corriger toute erreur sur les données.
Les ondelettes autorisent la compression des sons et des images (avec les fameux formats MP3, MP4, JPG ou DIVX). Les graphes permettent d'étudier la distribution et la connectivité d'un réseau d'ordinateurs. L'analyse de données permet de gérer le déluge d'informations qui submergent les serveurs.
Sans les mathématiques, aucun de ces progrès ne serait possible !
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Mathématiques et architecture ; à la recherche de l'harmonie
Collectif
- Pole
- Bibliotheque Tangente
- 8 Août 2017
- 9782848842035
On pourrait s'attendre à ce que les liens qui se sont tissés entre mathématiques et architecture soient de nature purement géométrique. Il est étonnant de voir que de nombreux autres domaines sont aussi concernés : celui des nombres et des proportions (où l'on trouve le fameux nombre d'or), celui de la réalisation d'outils rationnels précis, et même celui de l'arbitrage entre l'exactitude et l'esthétique.
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À son évocation, le terme « fractal » fait immédiatement surgir de saisissantes images, colorées, infiniment complexes, fascinantes.
En pratique, les formes fractales restent globalement identiques à elles-mêmes, quelle que soit l'échelle à laquelle on les regarde. On les retrouve dans la nature, des côtes bretonnes déchiquetées à la forme des nuages, en passant par les fougères ou les choux romanesco. Benoît Mandelbrot, le « père des fractales », a oeuvré toute sa vie pour que change notre regard sur les formes qui nous entourent. En plus de générer des images magnifiques, ces objets géométriques possèdent une définition mathématique qui reste à la portée de tous. Elles ne pouvaient donc que nous séduire, au point même d'inspirer de nombreux artistes, ce qui conduit à un ouvrage très visuel avec des images de toute beauté.
Le principe des fractales se généralise dans de nombreux domaines : dans les cours de la bourse, dans les encéphalogrammes, en théorie du signal, en médecine, en sismologie, dans les statistiques, dans la consommation d'énergie d'un pays ou la fréquence des appels d'un standard téléphonique...
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Les clés de toute oeuvre mathématique sont la créativité, l'originalité, la beauté, le caractère d'évidence et d'achèvement. C'est aussi exactement ce qui caractérise une oeuvre d'art. Dès lors, un dialogue fécond entre arts et mathématiques s'établit naturellement, d'autant que les techniques mathématiques peuvent se mettre au service de l'art.
La notion de perspective relève aussi bien de la peinture que de la science.
Il en va de même de la symétrie, des trompe-l'oeil, des anamorphoses ou des fractales. L'architecture et les décors de l'Alhambra de Grenade fascinent encore aujourd'hui, tout comme les peintures abstraites de Piet Mondrian, Paul Klee, François Morellet, Vassily Kandinsky ou de Victor Vasarely.
Aussi loin que l'on remonte dans l'histoire, mathématiques et arts sont entremêlés.
L'ouvrage propose un voyage très complet et documenté, visuellement plaisant, à travers ces liens parfois évidents, parfois insoupçonnés que les artistes et les mathématiciens ont tissés au cours des siècles (et tissent encore).
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Les equations de la physique moderne - bib 71 - les equations de la physique moderne
Collectif
- Pole
- 15 Juillet 2020
- 9782848842363
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On le sait depuis l'Antiquité: répéter mécaniquement un processus permet de trouver des solutions, exactes ou approchées, à de nombreux problèmes.
Plus généralement, les suites jouent un rôle important dans les mathématiques.
Le raisonnement par récurrence s'appuie sur elles pour démontrer des propriétés souvent fondamentales.
Avec l'avènement de l'informatique, de nouvelles voies se sont ouvertes.
L'écriture de programmes récursifs,s'appelant eux-mêmes, va utiliser les processus itératifs pour résoudre de manière approchée des équations, donner des valeurs numériques à d'insaisissables constantes ou générer des fractales.
Les artistes s'en sont d'ailleurs emparés pour produire des oeuvres, qu'elles soient graphiques, littéraires ou musicales,reposant... sur les mathématiques.
Cet ouvrage comporte 4 dossiers Processus itératifs Récurrence Récursivité Des applications dans l'art -
Mathématiques et littérature...deux mondes que l'on voudrait opposeret qui pourtant s'observent, dialoguent,s'inspirent mutuellement.D'Edgar Poe à Umberto Eco, deLautréamont à Wislawa Szymborska,écrivains et poètes disent leurfascination pour les mathématiques, enémaillent leurs oeuvres, chantent leurbeauté dans leurs vers.Avec Blaise Pascal, Lewis Carroll, SofiaKovalewskaïa, Claude Berge, DouglasHofstadter... on découvre que l'on peutêtre à la fois bon mathématicien et belleplume.Et si l'arithmétique et la symétrie sculptentdepuis toujours la poésie, oulipiens etautres tenants de l'écriture à contraintesont plus récemment apporté la preuveque les mathématiques offrent deformidables outils de création littéraire.
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Le premier savant universel Henri Poincaré a marqué son époque d'une empreinte scientifique forte qui a fait sa réputation de « savant universel ». Sa vision va au-delà des cloisonnements entre mathématiques, physique ou philosophie.
En physique, il joue un rôle déterminant dans l'étude de la vitesse de la lumière, la théorie électromagnétique de Maxwell ou la mise en évidence du mouvement de la Terre. Avec Lorentz, il met au point le formalisme de la relativité restreinte, qu'Einstein développera.
Mais chacune de ses études s'appuie sur des mathématiques qu'il examine d'un regard novateur : géométrie, topologie, équations différentielles, systèmes dynamiques...
Poincaré s'est aussi beaucoup impliqué dans son époque, mettant en évidence l'approche scientifique indispensable qui doit précéder les décisions, qu'elles soient économiques, politiques ou judiciaires. -
La magie des invariants ; à la recherche de ce qui ne change pas.
Collectif
- Pole
- Tangente
- 20 Septembre 2013
- 9782848841526
L'une des activités principales du scientifique explorant le monde est la recherche d'invariants. Les mathématiques n'échappent pas à cette quête systématique : il est toujours conseillé de s'intéresser à « ce qui ne change pas » dans un cadre fixé. En géométrie, par exemple, la recherche de points invariants permet de mieux comprendre une transformation donnée. Le succès mondial et foudroyant du jeu de taquin à la fin du XIXe siècle illustre parfaitement tout le bénéfice que l'on peut retirer du plus simple des invariants : la parité. Il en va de même avec le Rubik's Cube, où les invariants sont de nature plus algébrique, ou avec les codes correcteurs d'erreurs, indispensables pour sécuriser la transmission des données. Aujourd'hui plus que jamais, les invariants sont au coeur des mathématiques et de leurs applications..
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Qu'ont en commun un problème de grains de riz sur un échiquier, la recherche d'une stratégie gagnante dans un jeu de société, la notion d'équilibre en économie, les comportements sociaux, l'art de la guerre et l'établissement d'un juste prix lors d'une vente aux enchères ?
Tous relèvent d'une même branche des mathématiques : la théorie des jeux.
Les jeux à information complète, tels que les échecs ou le go, utilisent les mathématiques discrètes et la logique. Ceux a information incomplète, comme le poker, mobilisent en outre des notions probabilistes pour tenter d'apprivoiser une part de hasard. Et aujourd'hui, l'outil informatique est venu -
PrésentationSOMMAIREIntro : Les étapes d'un millénaireAprès les flux et reflux des périodes antiques, le deuxième millénaire de notre ère se caractérise par un progrès continu des champs de la connaissance et des mathématiques en particulier. Une étude détaillée laisse cependant voir de grandes époques et une respiration de l'histoire.Numérologie, la tentation ésotériqueDossier 1 : Histoire des idées : l'époque classiquePour décrire les phénomènes naturels, Newton invente le calcul infinitésimal. Jugée non rigoureuse, la notion d'infiniment petit est évacuée par Cauchy et ne sera réintroduite que très récemment dans l'analyse non standard. Galois, de son côté, apporte une contribution majeure aux mathématiques de son temps et de ceux qui suivront.Newton... et la physique devint mathématique / Les infiniment petits : actuels ou potentiels' / Évariste Galois : génie méconnu' / Petite histoire des récréations mathématiques / L'invention des nombres réelsDossier 2 : Les nouvelles tendancesD'un XVIIIème siècle où Voltaire surnommait Dieu le grand horloger . De même, les courbes très régulières des mathématiciens échouent à modéliser certains phénomènes naturels : il faut inventer la géométrie fractale. Enfin les ordinateurs engendrent d'autres domaines d'études comme celui des automates.Sept défis pour un millénaire / La logique moderne de Boole à Godel / Le chaos : grandeur et misère du linéaire / Géométrie fractale / Les automates : maths avant toutDossier 3 : Évolution des techniquesPratique, rapide, efficace : notre système actuel de numération est le fait d'une lente maturation depuis les Arabes jusqu'au Moyen-âge. Cette étape était nécessaire avant de commencer à calculer avec des lettres, à faire de l'algèbre. En inventant les repères qui portent son nom, Descartes a ensuite ramené la géométrie à l'algèbre. Toujours soucieux d'éviter ou de simplifier les calculs, les mathématiciens inventèrent les logarithmes, ou plus tard les logiciels de calcul symbolique.Symbolisme et mathématiques arabes / Moyen-âge : la numération décimale s'impose / Viète : la naissance du calcul littéral / Le repère de Descartes / Des logarihmes au logarithme / Calcul symbolique : avenir des mathématiques ? / Les tables de moralité aux XVIIème et XVIIIème sièclesDossier 4 : Les grands problèmesPourquoi les Grecs ont-ils privilégiés la règle et le compas pour la construction des courbes ? quelle qu'en soit la raison véritable, ce choix a marqué les mathématiques jusqu'à nos jours. Autre héritage des Grecs, l'arithmétique ne verra son véritable avènement qu'avec Pierre de Fermat, célèbre grâce aux problèmes qu'il a résolus, mais aussi à celui qui n'a pu être démontré que récemment et qui porte son nom.Construction à la règle et au compas / Résolution des équations algébriques / Les probabilités : une paternité multiple / Fermat ou l'avènement de l'arithmétique / Les nombres premiers / Le fabuleux nombre &
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La droite ; à l'origine de la géométrie
Collectif
- Pole
- Bibliotheque Tangente
- 20 Avril 2017
- 9782848842028
La droite, objet le plus familier de la géométrie, prend selon les contextes, le nom de ligne, d'axe, d'horizon, de direction, de trait... Son importance en géométrie peut se mesurer au nombre extraordinaire de mathématiciens et savants qui ont laissé leur nom à la figure contenant une droite qu'ils ont mise en évidence.
Mais la droite n'est pas cantonnée à la géométrie : elle est de manière naturelle associée à la représentation des nombres réels, ce qui ouvre tout un champ d'étude.
Au-delà, son usage est encore sans limite : des illusions d'optique au graphisme, les frontières même de la droite se brouillent, pour le plus grand plaisir des lecteurs de ce livre !
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Dans l'histoire du développement de la pensée scientifique, les mathématiques ont été sollicitées depuis l'Antiquité pour expliquer la physique. À l'inverse, cette interaction a engendré d'importants progrès dans le développement des mathématiques.
Quelques siècles plus tard, sous l'impulsion de Joseph Fourier, est née la physique théorique, qui place les équations au coeur de la démarche du physicien. Les puissantes théories mathématiques qui voient alors le jour n'ont pas encore livré tous leurs secrets.
Le rapport entre les deux disciplines évolue de manière forte. Après la méthode synthétique de Newton, la méthode analytique de Lagrange exploite la puissance du calcul intégral et donne naissance à la théorie des équations différentielles.
Le sommaire - Deux disciplines longtemps inséparables - La naissance de la physique théorique - Une évolution de la pensée scientifique - Un autre regard -
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Les espaces vectoriels : une nouvelle approche de la géométrie
Collectif
- Pole
- Bibliotheque Tangente
- 2 Janvier 2019
- 9782848842189
Introduction au concept d'espace vectoriel et de ses éléments fondamentaux comme la base, la dimension, le déterminant ou l'application linéaire et de la géométrie vue comme une branche de l'algèbre. Avec une présentation des différents domaines dans lesquels ils sont utilisés tels que le dessin vectoriel, le traitement de données de masse et les techniques de composition musicale.
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Les nombres imaginaires, dont le carré est un nombre négatif, ont mis des siècles à être acceptés. Ils ont donné naissance aux nombres complexes, créés à l'origine pour résoudre des équations algébriques. Cette découverte allait bouleverser les mathématiques. Algèbre, analyse, géométrie, trigonométrie disposaient désormais d'un outil puissant qui allait permettre des découvertes fondamentales et de nouvelles formes de démonstrations.
Au-delà des mathématiques, les complexes ont des applications dans de nombreux domaines, scientifiques, bien sûr, mais aussi plus inattendus.
La technologie et même l'art leur doivent beaucoup.
Du lycéen au scientifique professionnel, du technicien à l'artiste, personne ne peut se passer des nombres complexes.
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Activités géométriques autour des polygones et du nombre d'or
Robert J.M. Vincent
- Pole
- 23 Septembre 2010
- 9782848841304
Cette série de trois livres illustrés en couleurs, dont un offert (224 pages en tout), groupés sous film, permet de réaliser, chez soi ou dans le cadre scolaire, des figures géométriques et des motifs de décoration.
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SOMMAIREDossier 1 : La science de l'aléaDepuis l'époque de la géométrie du hasard , les mathématiques ont développé des outils pour fonder cette impensable discipline : une théorie rationnelle , cohérente, qui rend compte de ce qui est par nature toujours fuyant et semble inaccessible à la raison.Une obscure affaire de partage / Mathématique le hasard / La loi de Bernoulli / De la moyenne à l'espérance / La loi binomiale / Causes, conséquences et probabilités / Une théorie de poids / En passant par hasard... / Un paramètre de dispersion : la varianceDossier 2 : Utiliser le hasardLe hasard fait bien les choses. Ce vieux dicton ne croyait sans doute pas si bien dire : loin de n'être qu'une manifestation de notre impuissance à comprendre les phénomènes, le hasard est aujourd'hui un outil fondamental de la science d'aujourd'hui.Trouver le tout dans la partie : les sondages / La loi hypergéométrique / Des footballeurs dans le chocolat / Subtilités sondagièresDossier 3 : Quand l'infini s'en mêleQue le monde serait simple, s'il suffisait de compter des cas favorables et des c as possibles pour faire des probabilités! Mais il arrive qu'une infinité de possibilités doivent être en considération.Du fini à l'infini / La loi géométrique / Le mouvement brownien / La loi uniforme / Comment obtenir ? par hasard / Des filles à l'infini?Dossier 4 : Les lois du hasardAppliqué aux probabilités, le concept de loi doit être compris de manière subtile : il n'est plus question en effet de faire de quelconques prédictions sur les prochains numéros qui sortiront au loto.Quand les grands nombres font la loi / La loi exponentielle / L'injustice de l'arcsinus / Où tombe la foudre? / Fabriquer du hasard / La loi de Cauchy / La loi de BenfordDossier 4 : Les probas hors les mursLes probabilités ne sont pas réservées à l'estimation des chances et des risques. On les retrouve à travers des problématiques auxquelles les calculs d'espérance de gain ou d'écart à la moyenne ne nous avaient guère habitués.Les probabilités en mécanique quantique / Quel est le prix d'une voiture d'occasion' / Un hasard si bizarre / Marche au hasard dans un circuit électriqueDossier 5 : Le hasard aux commandesLes probabilités permettent de comprendre les comportements aléatoires, mais aussi de les utiliser. Désormais, le hasard devient un outil de base, qui sert aussi bien à étudier le minimum d'une fonction, à déterminer si tel ou tel nombre est premier ou non ou encore à calculer des aires.La méthode de Monte-Carlo / Le hasard à tête chercheuse / L'harmonie des monnaies / Deux chances sur trois d'être pendu / Probablement premiers / La loi de Poisson / La marche de l'ivrogne
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SOMMAIREAngles corniculaires et de demi-cercle chez Euclide / D'Euclide à Hilbert / Les multiples personnalités de l'angle / L'angle, un concept ambivalent / Quelques inégalités angulaires / Dans le triangle / Les angles opposés par le sommetDossier 1 : Les angles en géométrie classiqueChacun de nous les a rencontrés à l'école et pense tout savoir d'eux, qu'ils soient exprimés en grades, degrés ou radians. Les outils qui permettent de les construire sont connus de tous : règle, compas, rapporteur ... Pourtant, la notion d'angle n'est pas si simple, à commencer par sa définition!Le théorème de l'angle inscrit / Les rotations et symétries, des transformations qui tournent bien / Tous les triangles sont-ils équilatéraux? / le billard, une affaire à rebondissements / Sous l'angle des symétries / Angles et lunules quarrables / L'exponentielle complexe / Courbes orthoptiques et friandises géométriques / Les transformations conformesDossier 2 : La trigonométrieLa trigonométrie n'a pas toujours bonne presse. Elle est pourtant d'une importance capitale pour se repérer , tant en mer que dans l'espace. L'approche géométrique des nombres complexes lui a donné ses lettres de noblesse.Du théorème de Pythagore à une formule de trigonométrie / Le théorème des sinus / Angles, fonctions hyperboliques et génie électrique / Angles, produit scalaire et orthogonalité / L'astronomie, grande consommatrice de trigonométrieDossier 3 : Mesurer les anglesLe plus simple pour mesurer un angle est de prendre son rapporteur. Très bien, mais comment mesurer des angles sur le terrain, entre des éléments de paysage? Ou en mécanique de précision' Ces questions nécessitent de revenir au sens physique de l'angle.D'où nous viennent les degrés / La mesure des angles / L'arc de sinus, d'al-Khawarizmi à Apian / Le dos de l'astrolabe, alidade et carré des ombres / L'astrolabe planisphérique / Faisons le point.../ Des angles dans tous nos outils / Des phases qui nous font tourner la tête!Dossier 4 : La géométrie dans l'espaceDans l'espace, la notion d'angle solide s'inspire de celle d'angle du plan. À la différence près que si les rotations du plan sont aisées à comprendre, leurs homologues en trois dimensions ne se laissent pas appréhender de la même manière...L'angle solide / Les systèmes élémentaires de coordonnées / Des géométries sous un nouvel angle / Les coordonnées géographiques / Toutes latitudes / Les rotations, si simples avec les quaternions!/ Quand les atomes s'organisent / Une notion d'angle même dans des espaces très abstraits
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Les démonstrations ; démontrer, l'art de convaincre
Collectif
- Pole
- Bibliotheque Tangente
- 10 Janvier 2016
- 9782848841984
La possibilité de convaincre avec une absolue certitude fait la spécificité des mathématiques.
L'ouvrage fait le point sur la variété des méthodes utilisées pour démontrer, mais aussi sur la créativité dont il faut faire preuve quand la seule façon de faire consiste à sortir des sentiers battus.
Il évoque également les remises en cause nées au vingtième siècle des travaux de Kurt Gödel.
