Bibliothèque Tangente n.47 : la magie des invariants mathématiques : dénicher la loi cachée

Sommaire

Invariants et lois mathématiques / Des invariants pour jouer / Les invariants en linguistique / Bienvenue au pays des invariants empiriques / La loi des levées totales au bridge / Les invariants comme outils de preuve.

Dossier 1 : Les invariants en arithmétique.

L'un des invariants les plus élémentaires qui soient est la parité. Pourtant, il permet déjà de résoudre une multitude de problèmes et de comprendre bon nombre de casse-tête. La parité permet par exemple de comprendre pourquoi le Taquin ne peut être résolu. D'autres invariants de même nature, tels que les congruences ou la signature des permutations sont utilisés, par exemple pour confectionner des codes correcteurs d'erreurs.

Parité et congruences / Les effets magiques des invariants / Le Taquin et le nombre d'inversions / Signature d'une permutation / Compter les drapeaux et les colliers / "Ce qui ne varie pas" / Des invariants pour décrypter / Les codes correcteurs d'erreurs / Bibliographie / Problèmes / Solutions.

Dossier 2 : Les invariants en géométrie.

Comment distinguer les différentes géométries apparues au cours des siècles' La réponse fournie par Felix Klein repose tout entière sur la notion d'invariant. Depuis, les invariants sont omniprésents: la recherche de points fixes, de propriétés ou de lieux fait généralement intervenir un invariant géométrique.

Transport de propriétés par les transformations géométriques / Invariance globale, invariance point par point / Résoudre le Rubik's Cube / Invariance en géométrie / L'invariant de Dehn / Le birapport / Invariance par dualité / D'où la photo a-t-elle été prise? / La caractéristique d'Euler-Poincaré / Les polyèdres de Platon sont-ils des invariants' / Les invariants et le programme d'Erlangen.

Dossier 3 : Les invariants en analyse et en typologie.

L'introduction par Henri Poincaré de nouveaux inva¬riants en topologie à la fin du XIXe siècle constitue un progrès scientifique majeur. Quelques années plus tard, Emmy Noether explique comment les lois de la physique découlent de la recherche d'invariants mathématiques.

Théorèmes de point fixe / Les suites récurrentes et le point fixe / La méthode de la descente infinie de Fermat / Un déterminant discriminant / Les règles d'intégration de Bioche / Les invariants topologiques / Invariants en théorie des noeuds / Emmy Noether et les invariants en physique / Les invariants de classe, au service de la qualité logicielle.

Et toujours.

En bref - notes de lecture.