À propos
La the´orie des ensembles a laisse´ un souvenir a` tous ceux qui sont passe´s par les « maths modernes ». Son cadre axiomatique, que certains ont pu percevoir comme rigide, permet de « de´rouler » l'ensemble du savoir mathe´matique. Comment ? C'est ce que propose de de´couvrir cet ouvrage en levant le voile sur l'origine et la construction de cette the´orie.
Tout est parti d'un malaise scientifique profond, la crise des fondements. L'e´difice mathe´matique, que l'on croyait solide et inalte´rable, e´tait en fait morcele´ de contradictions et d'objets mal de´finis ! L'introduction des ensembles a` la fin du XIXe sie`cle a permis d'assainir la situation, tout en donnant naissance a` son lot de paradoxes, d'impossibilite´s, de situations de´fiant l'intuition...
?Un ensemble est une collection d'objets entre lesquels peuvent exister des relations diverses. C'est ainsi qu'e´mergent les notions de structures et de fonctions, qui re´gissent la majorite´ des concepts mathe´matiques. La construction des nombres et une nouvelle approche de la ge´ome´trie en de´coulent de manie`re naturelle. Une telle simplicite´ conceptuelle confe`re aux ensembles et aux fonctions une efficacite´ redoutable !
Aux fondements des Mais choisir les bons axiomes pour de´velopper la the´orie des ensembles et de´crire les mathe´matiques (et, au-dela`, toutes les sciences !) n'est pas une mince affaire...
Sommaire
Dossier : Histoire d'une the´orie re´volutionnaire La the´orie des ensembles est l'arche´type me^me d'une the´orie structurante. Cette architecture abstraite n'est pas sortie de nulle part : elle trouve son origine dans des proble`mes relatifs aux fondements des mathe´matiques durant le XIXe sie`cle.
L'oeuvre mathe´matique de Bourbaki - Une approche des mathe´matiques qui de´range - Lewis Caroll, vers la logique moderne - Premie`res utilisations des ensembles - Le jeu de Dobble - Borges, la Bibliothe`que de Babel - L'ho^tel de Hilbert Dossier : Ensembles, relations, applications : une nouvelle approche Au-dela` de leur repre´sentation nai¨ve en «patatoi¨des» connue sous le nom de «diagrammes de Venn», les ensembles offrent un cadre a` une formalisation rigoureuse applicable a` tous les domaines des mathe´matiques.
De la collection d'objets a` l'ensemble - L'ensemble et ses parties - Les diagrammes en patate, une ide´e qui donne la frite - Relations et applications : structurer les ensembles - E´blouissantes relations binaires - La me´daille Hausdorff - Construire des nombres, une histoire au long cours - Un pour un - Le nom des e´le´ments d'un ensemble Dossier : Ope´rations, structures, nombres.
Les nombres sont au centre de l'e´difice mathe´matique. Apre`s un long re`gne de l'intuition, le besoin d'une axiomatique rigoureuse s'est fait sentir. Celle introduite par Pe´ano pour de´finir les entiers naturels en est le plus bel exemple. Les ope´rations, elles aussi, entrent dans un cadre structurel d'une grande richesse.
Kurt Go¨del et l'inde´cidabilite´ - Adhe´rez aux groupes ! - Qu'est-ce qu'un groupe ? - La dimension fractale de l'ensemble triadique - La naissance des concepts alge´briques - L'alge`bre logique de George Boole.
Dossier : Infini et paradoxes.
Une e´tude des axiomes sur lesquels la the´orie des ensembles est fonde´e fait e´merger la notion d'infini, mais aussi des paradoxes : un ensemble peut-il e^tre membre de lui-me^me ? Combien de types d'infinis existent-ils ?
Une bre`ve histoire de l'infini - Georg Cantor : passer du fini a` l'infini - La multiplicite´ des infinis - Le roman de Lotfi Zadeh - Les ensembles flous : mode´liser les appartenances incertaines - John von Neumann, mesure et de´mesure Dossier : Axiomatique.
On reproche souvent a` la the´orie des ensembles son caracte`re formel, abstrait, axiomatique. Pourtant, de nombreuses richesses e´manent d'un cadre ge´ne´ral que l'on pourra de´cliner selon les envies et les besoins !
Mais que sont les axiomes ? - La tentative de Zermelo pour e´liminer les paradoxes - L'axiome du choix, si naturel, et pourtant si e´tonnant... - L'axiomatisation du hasard - Aux sources de la topologie - Dix proble`mes en patates
Événements
Détails produits
Rayons : Sciences & Techniques > Mathématiques
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Auteur(s)
Collectif
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Éditeur
Pole
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Distributeur
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Date de parution
08/12/2017
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Collection
Bibliotheque Tangente
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EAN
9782848842134
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Disponibilité
Disponible
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Nombre de pages
160 Pages
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Longueur
23.9 cm
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Largeur
17 cm
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Épaisseur
1 cm
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Poids
406 g
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Support principal
Grand format
Infos supplémentaires : Broché
