Bibliothèque Tangente Tome 65 : les espaces vectoriels : une nouvelle approche de la géométrie

Sommaire

Le latin, source de mots nouveaux / Le manifeste de l'art vectoriel.

Dossier 1 : Histoire et axiomatique.

La notion d'espace vectoriel voit le jour progressivement tout au long du XIX ème siècle, dans le but de formaliser l'espace qui nous environne. Des précurseurs ont permis ce changement de point de vue en introduisant les notions de « base », de « déterminant », d'« application linéaire » ...

Expliquer les vecteurs par la géométrie / Une relation qui s'est fait un nom / Un concept révolutionnaire / « La » dimension : une idée pas si évidente ! / Applications linéaire : le noyau dur de l'algèbre... linéaire / Le théorème du rang.
Les matrices vues comme des vecteurs / Les modules.

Dossier 2 : La géométrie autrement.

Peut-on traiter la géométrie comme une branche de l'algèbre ? C'est l'enjeu de l'usage des espaces vectoriels. Cette « mathématique sans figures » s'intéresse aux transformations de l'espace et à leurs invariants. L'intuition géométrique y trouve un sens renouvelé.

Une géométrie sans figures / Le programme d'Erlangen / Du vectoriel à l'affine... et vice versa ! / Précieux barycentres / Alignement, coplanarité, concourance ... même combat ! / Les transformations géométriques sous l'angle des vecteurs / Composer des transformations géométriques / La conjecture des bases de Rota.

Dossier 3 : Espaces euclidiens, distances et normes.

En introduisant le concept d'orthogonalité et d'angle grâce au produit scalaire, le champ des espaces vectoriels débouche sur les espaces euclidiens et hilbertiens. Les espaces normés sont ainsi devenus des cadres incontournables dans lesquels s'inscrivent désormais la géométrie et l'analyse.

Propriétés affines et métriques / La lente émergence des espaces euclidiens / Espaces normés, espaces fonctionnels / Le produit vectoriel.
Angles orientés et rotations du plan / Les polynômes... vus comme des vecteurs / Le plan projectif et l'espace universel / Calcul approché d'une intégrale et orthogonalité.

Dossier 4 : Des applications aux sciences.

Les vecteurs se sont révélés indispensables à l'étude des mouvements et des forces. Leur champ d'application s'étend bien au-delà : toutes les sciences de l'ingénieur font un usage immodéré de l'algèbre linéaire, du calcul matriciel, et des notions qui en sont dérivées, comme les spineurs.

Cinématique : l'atout « vecteurs » / Le mouvement vectoriel de la comète Encke / Équations linéaires et suites récurrentes / Au-delà des vecteurs / Les spineurs / L'analyse vectorielle, des outils pour les champs.

Dossier 5 : Ils sont partout !

Les vecteurs apportent un enrichissement de notre approche de nombreux domaines. Leur présence a opéré une véritable révolution, accentuée par l'avènement de puissants outils de calcul, aussi bien dans le stockage et la définition d'une image, en art ou en littérature.

Les mots sont des vecteurs / Images matricielles, images vectorielles / Les espaces vectoriels, c'est ludique ! / Le dessin de la toile d'araignée.
« Lambertiser » le cadastre ! / Les espaces vectoriels musicaux de Yanis Xenakis.

Et toujours.

En bref - Nouvelle : L'héritage extraordinaire de Papy Askilman - Mathématiques récréatives - Problèmes - Notes de lecture et solutions.